初中數(shù)學(xué)《弧長及扇形的面積》的教案

27.4弧長及扇形的面積

教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識點(diǎn)

1．經(jīng)歷探索弧長計(jì)算公式及扇形面積計(jì)算公式的過程；

2．了解弧長計(jì)算公式及扇形面積計(jì)算公式，并會應(yīng)用公式解決問題．

(二)能力訓(xùn)練要求

1．經(jīng)歷探索弧長計(jì)算公式及扇形面積計(jì)算公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力．

2．了解弧長及扇形面積公式后，能用公式解決問題，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力．

(三)情感與價(jià)值觀要求

1．經(jīng)歷探索弧長及扇形面積計(jì)算公式，讓學(xué)生體驗(yàn)教學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性．

2．通過用弧長及扇形面積公式解決實(shí)際問題，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高他們的學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)提高大家的運(yùn)用能力．

教學(xué)重點(diǎn)

1．經(jīng)歷探索弧長及扇形面積計(jì)算公式的過程．

2．了解弧長及扇形面積計(jì)算公式．

3．會用公式解決問題．

教學(xué)難點(diǎn)

1．探索弧長及扇形面積計(jì)算公式．

2．用公式解決實(shí)際問題．

教學(xué)方法

學(xué)生互相交流探索法

教具準(zhǔn)備

2．投影片四張

第一張：(記作A)

第二張：(記作B)

第三張：(記作C)

第四張：(記作D)

教學(xué)過程

Ⅰ．創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

[師]在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過有關(guān)圓的周長和面積公式，弧是圓周的一部分，扇形是圓的一部分，那么弧長與扇形面積應(yīng)怎樣計(jì)算？它們與圓的周長、圓的面積之間有怎樣的關(guān)系呢？本節(jié)課我們將進(jìn)行探索．

Ⅱ．新課講解

一、復(fù)習(xí)

1．圓的周長如何計(jì)算？

2．圓的面積如何計(jì)算？

3．圓的圓心角是多少度？

[生]若圓的半徑為r，則周長l＝2r，面積S＝r2，圓的圓心角是360．

二、探索弧長的計(jì)算公式

投影片(A)

如圖，某傳送帶的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為10cm．

(1)轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？

(2)轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)1，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？

(3)轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)n，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？

[師]分析：轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品應(yīng)被傳送一個(gè)圓的周長；因?yàn)閳A的周長對應(yīng)360的圓心角扇形的弧長公式，所以轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)1，傳送帶上的物品A被傳送圓周長的 ；轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)n，傳送帶上的物品A被傳送轉(zhuǎn)1時(shí)傳送距離的n倍．

[生]解：(1)轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品A被傳送210＝20cm；

(2)轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)1，傳送帶上的物品A被傳送 cm；

(3)轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)n，傳送帶上的物品A被傳送n ＝cm．

[師]根據(jù)上面的計(jì)算，你能猜想出在半徑為R的.圓中，n的圓心角所對的弧長的計(jì)算公式嗎？請大家互相交流．

[生]根據(jù)剛才的討論可知，360的圓心角對應(yīng)圓周長2R，那么1的圓心角對應(yīng)的弧長為 ，n的圓心角對應(yīng)的弧長應(yīng)為1的圓心角對應(yīng)的弧長的n倍，即n ．

[師]表述得非常棒．

在半徑為R的圓中，n的圓心角所對的弧長(arclength)的計(jì)算公式為：

l＝ ．

下面我們看弧長公式的運(yùn)用．

三、例題講解

投影片(B)

制作彎形管道時(shí)，需要先按中心線計(jì)算“展直長度”再下料，試計(jì)算下圖中管道的展直長度，即 的長(結(jié)果精確到0.1mm)．

分析：要求管道的展直長度，即求 的長，根根弧長公式l＝ 可求得 的長，其中n為圓心角，R為半徑．

解：R＝40mm，n＝110．

的長＝ R＝ 4076.8mm．

因此，管道的展直長度約為76.8mm．

四、想一想

投影片(C)

在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴著一條長3m的繩子，繩子的另一端拴著一只狗．

(1)這只狗的最大活動(dòng)區(qū)域有多大？

(2)如果這只狗只能繞柱子轉(zhuǎn)過n角，那么它的最大活動(dòng)區(qū)域有多大？

[師]請大家互相交流．

[生](1)如圖(1)，這只狗的最大活動(dòng)區(qū)域是圓的面積，即9；

(2)如圖(2)，狗的活動(dòng)區(qū)域是扇形，扇形是圓的一部分，360的圓心角對應(yīng)的圓面積，1的圓心角對應(yīng)圓面積的 ，即 ＝ ，n的圓心角對應(yīng)的圓面積為n ＝ ．

[師]請大家根據(jù)剛才的例題歸納總結(jié)扇形的面積公式．

[生]如果圓的半徑為R，則圓的面積為R2，1的圓心角對應(yīng)的扇形面積為 ，n的圓心角對應(yīng)的扇形面積為n ．因此扇形面積的計(jì)算公式為S扇形＝ R2，其中R為扇形的半徑，n為圓心角．

五、弧長與扇形面積的關(guān)系

[師]我們探討了弧長和扇形面積的公式，在半徑為R的圓中，n的圓心角所對的弧長的計(jì)算公式為l＝ R，n的圓心角的扇形面積公式為S扇形＝ R2，在這兩個(gè)公式中，弧長和扇形面積都和圓心角n．半徑R有關(guān)系，因此l和S之間也有一定的關(guān)系，你能猜得出嗎？請大家互相交流．

[生]∵l＝ R，S扇形＝ R2，

R2＝ RR．S扇形＝ lR．

六、扇形面積的應(yīng)用

投影片(D)

扇形AOB的半徑為12cm，AOB＝120，求 的長(結(jié)果精確到0.1cm)和扇形AOB的面積(結(jié)果精確到0.1cm2)

分析：要求弧長和扇形面積，根據(jù)公式需要知道半徑R和圓心角n即可，本題中這些條件已經(jīng)告訴了，因此這個(gè)問題就解決了．

解： 的長＝ 1225.1cm．

S扇形＝ 122150.7cm2．

因此， 的長約為25.1cm，扇形AOB的面積約為150.7cm2．

Ⅲ．課堂練習(xí)

隨堂練習(xí)

Ⅳ．課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：

1．探索弧長的計(jì)算公式l＝ R，并運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算；

2．探索扇形的面積公式S＝ R2，并運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算；

3．探索弧長l及扇形的面積S之間的關(guān)系，并能已知一方求另一方．

Ⅴ．課后作業(yè)

習(xí)題節(jié)選

Ⅵ．活動(dòng)與探究

如圖，兩個(gè)同心圓被兩條半徑截得的 的長為6 cm， 的長為10 cm，又AC＝12cm，求陰影部分ABDC的面積．

分析：要求陰影部分的面積，需求扇形COD的面積與扇形AOB的面積之差．根據(jù)扇形面積S＝ lR，l已知扇形的弧長公式，則需要求兩個(gè)半徑OC與OA，因?yàn)镺C＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．

解：設(shè)OA＝R，OC＝R＋12，O＝n，根據(jù)已知條件有：

得 ．

3(R＋12)＝5R，R＝18．

OC＝18＋12＝30．

S＝S扇形COD－S扇形AOB＝ 1030－ 18＝96 cm2．

所以陰影部分的面積為96 cm2．

板書設(shè)計(jì)

27.4弧長及扇形的面積

一、1．復(fù)習(xí)圓的周長和面積計(jì)算公式；

2．探索弧長的計(jì)算公式；

3．例題講解；

4．想一想；

5．弧長及扇形面積的關(guān)系；

6．扇形面積的應(yīng)用．

二、課堂練習(xí)

三、課時(shí)小結(jié)

四、課后作業(yè)

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