貢獻者： addis

預備知識求導法則

一個一元函數 $y=f(x)$ 可導，如果導函數 $y'=f'(x)$ 仍可導，則稱 $y'=f'(x)$ 的導數為函數 $y=f(x)$ 的二階導數，記為

\begin{equation}y'',\quad f''(x),\quad \frac{ \,\mathrmh577hlxznrtb{^2y} }{ \,\mathrmh577hlxznrtb{x^2} },\quad \frac{ \,\mathrmh577hlxznrtb{^2f} }{ \,\mathrmh577hlxznrtb{x^2} },\quad y''(x)~,\end{equation}

即

\begin{equation}y''=(y')',\quad\frac{ \,\mathrmh577hlxznrtb{^2y} }{ \,\mathrmh577hlxznrtb{x^2} }= \frac{\mathrmh577hlxznrtb}{\mathrmh577hlxznrtb{x}} \left( \frac{\mathrmh577hlxznrtb{y}}{\mathrmh577hlxznrtb{x}} \right) ~.\end{equation}

由導數中的定義，可得二階導數的計算公式

\begin{equation}f''(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f'(x+ \Delta x)-f'(x)}{\Delta x}~.\end{equation}

若把 $y=f(x)$ 的導數 $y'=f'(x)$ 稱為 $y=f(x)$ 的一階導數，那么，一階導數的導數就稱為二階導數。若二階導數 $y''=f''(x)$ 仍然可導高階導數公式，我們就把二階導數的數 $y''=f''(x)$ 的導數稱為三階導數，記為

\begin{equation}y''',\quad f'''(x),\quad \frac{ \,\mathrmh577hlxznrtb{^3y} }{ \,\mathrmh577hlxznrtb{x^3} },\quad \frac{ \,\mathrmh577hlxznrtb{^3f} }{ \,\mathrmh577hlxznrtb{x^3} },\quad y'''(x)~.\end{equation}

一般地，如果 $y=f(x)$ 的 $n-1$ 階導數是可導的，我們就把 $n-1$ 階導數的導數稱為果 $y=f(x)$ 的n 階導數高階導數公式，記為

\begin{equation}y^{(n)},\quad f^{(n)}(x),\quad \frac{ \,\mathrmh577hlxznrtb{^ny} }{ \,\mathrmh577hlxznrtb{x^n} },\quad \frac{ \,\mathrmh577hlxznrtb{^nf} }{ \,\mathrmh577hlxznrtb{x^n} },\quad y^{(n)}(x)~,\end{equation}

二階和二階以上的導數統稱為高階導數。利用求導公式和求導法則就可以求出高階導數。