定義播報

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有效數(shù)字的位數(shù)就是有效位數(shù)。關(guān)于有效數(shù)字的定義有以下幾種。

定義一

若一個數(shù)的誤差不大于某位數(shù)字的一半，則由左到右，從左邊第一個非零數(shù)字起，到右邊這一位數(shù)字為止，每一位數(shù)字都稱為準(zhǔn)確數(shù)字，而這個數(shù)本身，稱為準(zhǔn)確到這一位數(shù)字的近似值。若這個數(shù)近似值準(zhǔn)確到它的末位數(shù)字，則稱它的每一位數(shù)字為有效數(shù)字。例如對0.0493，如果已知它準(zhǔn)確到最后一位，則它的有效數(shù)字為4、9、3。如果只是最后一位數(shù)字不準(zhǔn)確，則它的有效數(shù)字為4、9。由四舍五入得來的近似值，從第一個非零數(shù)字起的所有數(shù)字，都是有效數(shù)字，小數(shù)點并不影響有效數(shù)字的個數(shù)。例如，0.04926或0.04933經(jīng)四舍五入得出的近似值為0.0493，有效數(shù)字為4、9、3。一個數(shù)有效數(shù)字的個數(shù)，反映這個數(shù)的精確度。

也可以只用只舍不入的規(guī)則，即以誤差不大于某個數(shù)字的一個單位，來定義近似值的準(zhǔn)確數(shù)字與有效數(shù)字。這時，從左邊第一個非零數(shù)字起，到右邊最后一位數(shù)字止，每一個數(shù)字都是準(zhǔn)確數(shù)字與有效數(shù)字。例如：0.04921、0.04929的近似值，都是0.0492(或0.0493)，則準(zhǔn)確數(shù)字與有效數(shù)字為4，9，2(或4，9，3)。如果最后一位有效數(shù)字為零，則在這個零上面上加一橫，例如49,000 m,表示具有四位有效數(shù)字。 數(shù)據(jù)通常用指數(shù)形式表示，這樣既方便于讀寫，又明顯指出了有效數(shù)字，例如4900000,記為4.900×10?。 [2]

定義二

國家標(biāo)準(zhǔn)GB 8170-87中對有效位數(shù)的定義為：對沒有小數(shù)位且以若干個零結(jié)尾的數(shù)值，從非零數(shù)字最左一位向右數(shù)得到的位數(shù)減去無效零(即僅為定位用的零)的個數(shù)，就是有效位數(shù)；對其他十進位數(shù)，從非零數(shù)字最左一位向右數(shù)而得到的位數(shù)，就是有效位數(shù) [3]。

運算法則播報

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在進行有效位數(shù)計算時，參加運算的分量可能很多。各分量數(shù)值的大小及有效位數(shù)的位數(shù)也不相同，而且在運算過程中，有效位數(shù)的位數(shù)會越乘越多，除不盡時有效位數(shù)的位數(shù)也無止境。即便是使用計算器，也會遇到中間數(shù)的取位問題以及如何更簡潔的問題。測量結(jié)果的有效位數(shù)，只能允許保留一位欠準(zhǔn)確數(shù)字，直接測量是如此，間接測量的計算結(jié)果也是如此。根據(jù)這一原則，為了達到：①不因計算而引進誤差，影響結(jié)果；②盡量簡潔，不作徒勞的運算，簡化有效位數(shù)的運算，約定下列規(guī)則： [4]

(1)加法或減法運算。

大量計算表明，若干個數(shù)進行加法或減法運算，其和或者差的結(jié)果的欠準(zhǔn)確數(shù)字的位置與參與運算各個量中的欠準(zhǔn)確數(shù)字的位置最高者相同。由此得出結(jié)論，幾個數(shù)進行加法或減法運算時，可先將多余數(shù)修約，將應(yīng)保留的欠準(zhǔn)確數(shù)字的位數(shù)多保留一位進行運算，最后結(jié)果按保留一位欠準(zhǔn)確數(shù)字進行取舍。這樣可以減小繁雜的數(shù)字計算。

(2)乘法和除法運算。

由此得出結(jié)論：用有效位數(shù)進行乘法或除法運算時，乘積或商的結(jié)果的有效位數(shù)的位數(shù)與參與運算的各個量中有效位數(shù)的位數(shù)最少者相同。

(3)乘方和開方運算。 [4]

由此可見，乘方和開方運算的有效位數(shù)的位數(shù)與其底數(shù)的有效位數(shù)的位數(shù)相同。

(4)自然數(shù)1，2，3，4，…不是測量而得，不存在欠準(zhǔn)確數(shù)字。因此，可以視為無窮多位有效位數(shù)的位數(shù)，書寫也不必寫出后面的0，如D=2R，D的位數(shù)僅由測量值R的位數(shù)決定。

(5)無理常數(shù)

，

，

，…的位數(shù)也可以看成很多位有效位數(shù)。例如

，若測量值

時，

應(yīng)取為3.142，則

(6)有效位數(shù)的修約。根據(jù)有效位數(shù)的運算規(guī)則，為使計算簡化，在不影響最后結(jié)果應(yīng)保留有效位數(shù)的位數(shù)(或欠準(zhǔn)確數(shù)字的位置)的前提下，可以在運算前、后對數(shù)據(jù)進行修約，其修約原則是“四舍六人五看右左”，“五看右左”即為五時則看五后面，若為非零的數(shù)則入、若為零則往左看，擬留數(shù)的末位數(shù)為奇數(shù)則入為偶數(shù)則舍，這一說法可以簡述為五看右左。中間運算過程較結(jié)果要多保留一位有效位數(shù)。

如今計算機已廣泛應(yīng)用，我們沒有必要為參加運算的測量數(shù)據(jù)的有效位數(shù)取舍問題去耗費精力。當(dāng)然我們也不能因此而否定有效位數(shù)的近似運算法則。正是計算機的廣泛使用。使很多人很少去考慮測量結(jié)果的有效位數(shù)問題，致使運算結(jié)果有效位數(shù)方面的問題越來越多。掌握有效位數(shù)的近似運算法則將是防止錯誤的一種很好手段。 [4]

修約標(biāo)準(zhǔn)播報

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在1981年的國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 8170-1987中，對需要修約的各種測量、計算的數(shù)值，已有明確的規(guī)定： [4]

(1)原文“在擬舍棄的數(shù)字中，若左邊第一個數(shù)字小于5(不包括5)時，則舍去，即所擬保留的末位數(shù)字不變”。例如：在3 605 6 43數(shù)字中擬舍去43時，4

(2)原文“在擬舍棄的數(shù)字中，若左邊第一個數(shù)字大于5．(不包括5)時，則進一自然數(shù)的定義，即所擬保留的末位數(shù)字加一”。例如：在3 605 623數(shù)字中擬舍去623時，6>5，則應(yīng)為3 606，我們簡稱為“六入”。

(3)原文“在擬舍棄的數(shù)字中，若左邊第一個數(shù)字等于5，其右邊數(shù)字并非全部為零時，則進一，即所擬保留的末位數(shù)字加一”。例如，在3 605 123數(shù)字中擬舍去5 123時，5=5，其右邊的數(shù)字為非零的數(shù)，則應(yīng)為361，我們簡稱為“五看右”。

(4)原文“在擬舍棄的數(shù)字中，若左邊第一個數(shù)字等于5，其右邊數(shù)字皆為零時，所擬保留的末位數(shù)字若為奇數(shù)則進一，若為偶數(shù)(包括0)則不進”。例如，在36 050數(shù)字中擬舍去50時，5=5，其右邊的數(shù)字皆為零。而擬保留的末位數(shù)字為偶數(shù)(含0)時則不進，故此時應(yīng)為360，簡稱為“五看右左”。

上述規(guī)定可概述為：舍棄數(shù)字中最左邊一位數(shù)為小于四(含四)舍、為大于六(含六)入、為五時則看五后若為非零的數(shù)則入、若為零則往左看擬留的數(shù)的末位數(shù)為奇數(shù)則入為偶數(shù)則舍。可簡述為“四舍六入五看右左”。

可見，采取慣用的“四舍五入”法進行數(shù)字修約，既粗糙又不符合國標(biāo)的科學(xué)規(guī)定。類似的不嚴謹、甚至是錯誤的提法和做法還有“大于五入，小于五舍，等于5保留位湊偶”；尾數(shù)“小于5舍，大于5入，等于5則把尾數(shù)湊成偶數(shù)”；“若舍去部分的數(shù)值，大于所保留的末位0.5，則末位加1，若舍去部分的數(shù)值，小于所保留的末位0.5，則末位不變……”等。還要指出自然數(shù)的定義，在修約最后結(jié)果的不確定度時，為確保其可信性，還往往根據(jù)實際情況執(zhí)行“寧大勿小”原則。 [4]